Τα προβλήματα που σχετίζονται με τις ηλικίες είναι μια κατηγορία προβλημάτων στα μαθηματικά που απαιτούν λογική σκέψη, αναλυτική προσέγγιση και δεξιότητες στην επίλυση εξισώσεων.
Τέτοιου είδους προβλήματα συνήθως περιλαμβάνουν σχέσεις μεταξύ των ηλικιών δύο ή περισσότερων ατόμων σε διαφορετικές χρονικές στιγμές (παρελθόν, παρόν, μέλλον).
Είναι κρίσιμο κάθε φορά να διαβάζετε προσεκτικά την εκφώνηση και να εντοπίσετε τις σχέσεις που περιγράφονται. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στις χρονικές αναφορές (παρελθόν, παρόν, μέλλον).
Συνήθως, η ηλικία ενός ατόμου στο παρόν (ήτοι η τωρινή του ηλικία) ορίζεται ως x, ενώ η ηλικία του ίδιου ατόμου στο παρελθόν πριν από n χρόνια εκφράζεται ως x-n και τέλος, η ηλικία του ατόμου μετά από n χρόνια εκφράζεται ως x+n.
Αυτό που κάνουμε αφού διαβάσουμε την εκφώνηση είναι να μετατρέψουμε τις σχέσεις που δίνονται στο πρόβλημα με εξισώσεις.
Λύνουμε το πρόβλημα με τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας βασικές αλγεβρικές τεχνικές.
Τέλος, ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί όλες τις συνθήκες που δίνονται από την εκφώνηση.
Βασικά η όλη ιστορία είναι να μάθετε να μετατρέπετε ότι διαβάζετε σε εξίσωση.
Ακολουθούν δέκα (10) παραδείγματα με αναλυτική απάντηση έτσι ώστε να εξοικειωθείτε όσο γίνεται περισσότερο σε αυτό το είδος των ερωτημάτων:
1. Πριν τρία χρόνια ο Μιχάλης είχε τριπλάσια ηλικία από την Ρένα. Μετά από τρία χρόνια ο Μιχάλης θα έχει διπλάσια ηλικία από τη Ρένα. Ποια είναι η σημερινή ηλικία της Ρένας; (28ος Διαγωνισμός ΕΣΔΔΑ 2021)
Α. 5
Β. 9
Γ. 7
Δ. 11
Σωστή απάντηση: Β. 9
Επεξήγηση:
Έστω ότι η τωρινή ηλικία της Ρένας είναι Χ και η τωρινή ηλικία του Μιχάλη είναι Ψ.
Από το πρώτο δεδομένο έχουμε:
Ψ-3=3*(Χ-3) ⬄
Ψ-3=3Χ-9 ⬄
Ψ=3Χ-6
Από το δεύτερο δεδομένο έχουμε:
Ψ+3=2*(Χ+3) ⬄
Ψ+3=2Χ+6 ⬄
Ψ=2Χ+3
Οπότε:
3Χ-6=2Χ+3 ⬄
3Χ-2Χ=3+6 ⬄
Χ=9
2. Ένας πατέρας είναι 44 ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου; (29ος Διαγωνισμός ΕΣΔΔΑ 2022)
Α. 12
Β. 10
Γ. 8
Δ. 6
Σωστή απάντηση: Β. 10
Επεξήγηση:
Η τωρινή ηλικία του πατέρα είναι 44 ετών και η τωρινή ηλικία του γιου είναι 8 ετών.
Έστω ως Χ τα χρόνια που πρέπει να περάσουν έτσι ώστε ο πατέρας να έχει την τριπλάσια ηλικία του γιου του:
44+Χ=3*(8+Χ) ⬄
44+Χ=24+3Χ ⬄
44-24=3Χ-Χ ⬄
20=2Χ ⬄
Χ=20/2 ⬄
Χ=10
Ως εκ τούτου, μετά από 10 χρόνια ο πατέρας θα έχει την τριπλάσια ηλικία του γιου του.
3. Ένας άνδρας είναι 24 χρόνια μεγαλύτερος από τον γιο του. Σε δύο χρόνια, η ηλικία του θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου του. Ποια είναι η σημερινή ηλικία του γιου του;
Α.14
Β. 18
Γ. 20
Δ. 22
Σωστή απάντηση: Δ. 22
Επεξήγηση:
Έστω ότι η σημερινή ηλικία του γιου είναι Χ, οπότε η σημερινή ηλικία του άνδρα είναι (Χ+24).
Σε δύο χρόνια:
(Χ+24)+2=2(Χ+2) ⬄
Χ+26=2Χ+4 ⬄
26-4=2Χ-Χ ⬄
Χ=22
4. Το άθροισμα των σημερινών ηλικιών ενός πατέρα και του γιου του είναι 60 έτη. Πριν από 6 χρόνια, η ηλικία του πατέρα ήταν πενταπλάσια της ηλικίας του γιου του. Μετά από 6 χρόνια ποια θα είναι η ηλικία του γιου;
Α. 12
Β. 14
Γ. 18
Δ. 20
Σωστή απάντηση: Δ. 20
Επεξήγηση:
Η σημερινή ηλικία του γιου είναι Χ και του πατέρα του Ψ=60-Χ.
Πριν από 6 χρόνια:
(60-Χ)-6=5*(Χ-6) ⬄
54-Χ=5Χ-30 ⬄
54+30=5Χ+Χ ⬄
6Χ=84 ⬄
Χ=84/6 ⬄
Χ=14
Μετά από 6 χρόνια η ηλικία του γιου θα είναι:
14+6=20
5. Ο πατέρας έχει τετραπλάσια ηλικία από την κόρη του. Αν μετά από 5 χρόνια, θα είναι τρεις φορές μεγαλύτερος από την ηλικία της κόρης του, τότε περαιτέρω μετά από 5 χρόνια, πόσες φορές θα είναι μεγαλύτερος από την ηλικία της κόρης του;
Α. 1.5 φορά
Β. 2 φορές
Γ. 2.5 φορές
Δ. 3 φορές
Σωστή απάντηση: Γ. 2.5 φορές
Επεξήγηση:
Έστω ότι η σημερινή ηλικία της κόρης είναι Χ και του πατέρα της είναι 4Χ.
Σύμφωνα με την εκφώνηση:
4Χ+5=3*(Χ+5) ⬄
4Χ+5=3Χ+15 ⬄
4Χ-3Χ=15-5 ⬄
Χ=10
Ως εκ τούτου, η σημερινή ηλικία της κόρης είναι 10 ετών και η σημερινή ηλικία του πατέρα της είναι 40 ετών.
Επομένως μετά από 5+5=10 χρόνια, η ηλικία της κόρης θα είναι 20 έτη και η ηλικία του πατέρα θα είναι 40+10=50 έτη οπότε θα είναι 50/20=2,5 φορές μεγαλύτερος από την ηλικία της κόρης του.
6. Η Ελένη είναι 26 ετών. Η κόρη της Νταίζη είναι 4 ετών. Σε πόσα χρόνια η Ελένη θα έχει διπλάσια ηλικία από την κόρη της;
Α. 20
Β. 18
Γ. 30
Δ. 32
Σωστή απάντηση: Β. 18
Επεξήγηση:
Η πρώτη πρόταση μας λέει ότι η τωρινή ηλικία της Ελένης είναι 26 ετών και της κόρης της είναι 4 ετών.
Η δεύτερη πρόταση μας λέει ότι σε Χ χρόνια η Ελένη έχει τη διπλάσια ηλικία της Νταίζης:
26+Χ=2*(4+Χ) ⬄
26+Χ=8+2Χ ⬄
26-8=2Χ-Χ ⬄
Χ=18
Επομένως, σε 18 χρόνια, η Ελένη θα έχει τα διπλάσια χρόνια από την κόρη της Νταίζη.
7. Η σημερινή ηλικία του Αλέξανδρου είναι 4 φορές μεγαλύτερη από την ηλικία της Σόνιας. Μετά από 12 χρόνια, ο Αλέξανδρος θα έχει την τριπλάσια ηλικία από τη Σόνια. Ποια είναι σημερινή ηλικία της Σόνιας;
Α. 28
Β. 24
Γ. 20
Δ. 16
Σωστή απάντηση: Β. 24
Επεξήγηση:
Η σημερινή ηλικία της Σόνιας είναι Χ και του Αλέξανδρου 4Χ.
Μετά από 12 χρόνια:
4Χ+12=3*(Χ+12) ⬄
4Χ+12=3Χ+36 ⬄
4Χ-3Χ=36-12 ⬄
Χ=24
8. Οι ηλικίες του Κωνσταντίνου και του πατέρα του είναι 40 και 60 ετών αντίστοιχα. Πριν από πόσα χρόνια η αναλογία των ηλικιών τους ήταν 3:5;
Α. 15
Β. 20
Γ. 37
Δ. 10
Σωστή απάντηση: Δ. 10
Επεξήγηση:
Έστω Χ τα χρόνια πριν που ο Κωνσταντίνος και ο πατέρας του είχαν αναλογία 3:5 στις ηλικίες τους:
(40-Χ)/(60-Χ) = 3/5 ⬄
5*(40-Χ) = 3*(60-Χ) ⬄
200-5Χ=180-3Χ ⬄
200-180=-3Χ+5Χ ⬄
2Χ=20 ⬄
Χ=20/2 ⬄
Χ=10
9. Η Νίτσα είναι 15 χρόνια μεγαλύτερη από την Ρούλα. Εάν 5 χρόνια πριν, η Νίτσα ήταν τρεις φορές μεγαλύτερη από τη Ρούλα, τότε ποια είναι η σημερινή ηλικία της Νίτσας;
Α. 32.5
Β. 27.5
Γ. 25
Δ. 24.9
Σωστή απάντηση: Β. 27.5
Επεξήγηση:
Η σημερινή ηλικία της Ρούλας είναι Χ και της Νίτσας είναι 15+Χ.
Πριν από 5 έτη:
15+Χ-5=3*(Χ-5) ⬄
10+Χ=3Χ-15 ⬄
10+15=3Χ-Χ ⬄
2Χ=25 ⬄
Χ=25/2 ⬄
Χ=12.5
Ως εκ τούτου η σημερινή ηλικία της Ρούλας είναι 12.5 ενώ της Νίτσας είναι 15+12.5=27.5 ετών.
10. Ένας πατέρας έχει τη διπλάσια ηλικία της κόρης του. Εάν 20 χρόνια πριν, η ηλικία του πατέρα ήταν 10 φορές μεγαλύτερη από την ηλικία της κόρης του, τότε ποια είναι η σημερινή ηλικία του πατέρα;
Α. 40
Β. 32
Γ. 33
Δ. 45
Σωστή απάντηση: Δ. 45
Επεξήγηση:
Η σημερινή ηλικία της κόρης είναι Χ και του πατέρα είναι 2Χ.
Πριν 20 χρόνια:
2Χ-20=10*(Χ-20) ⬄
2Χ-20=10Χ-200 ⬄
200-20=10Χ-2Χ ⬄
8Χ=180 ⬄
Χ=180/8 ⬄
Χ=22.5
Ως εκ τούτου η σημερινή ηλικία της κόρης είναι 22.5 και του πατέρα είναι 2*22.5=45 ετών.
Τα προβλήματα σχετικά με τις ηλικίες απαιτούν συστηματική σκέψη και σωστή χρήση των εξισώσεων. Είναι σημαντικό να κατανοήσετε τις σχέσεις που περιγράφονται στην εκφώνηση της ερώτησης και να τις μετατρέψετε από λεκτικές περιγραφές σε μαθηματικές εξισώσεις.
Με εξάσκηση, αυτά τα προβλήματα γίνονται όλο και πιο εύκολα και μπορούν να λυθούν με ακρίβεια και ταχύτητα.
