Στις ερωτήσεις επαγωγικού συλλογισμού, δίπλα στις κλασικές ακολουθίες πέντε πλαισίων, εμφανίζεται συχνά και μια δεύτερη μορφή: ένα εξάγραμμο, δύο αλληλεπικαλυπτόμενα ισόπλευρα τρίγωνα, το γνωστό «αστέρι”, χωρισμένο σε δώδεκα μικρά τρίγωνα. Κάθε μικρό τρίγωνο περιέχει σχήματα (κύκλους, τετράγωνα, τρίγωνα, ρόμβους, αστερίσκους) σε συγκεκριμένο αριθμό και χρώμα. Σε ένα από τα δώδεκα υπάρχει ερωτηματικό, και ο υποψήφιος καλείται να διαλέξει, από πέντε επιλογές, το περιεχόμενο που το συμπληρώνει.
Η δυσκολία της ερώτησης δεν βρίσκεται στους κανόνες, είναι οι ίδιοι με τις γραμμικές ακολουθίες, αλλά στο ότι δεν είναι προφανές ποιο τρίγωνο «συνομιλεί» με ποιο. Η λύση περνά, λοιπόν, πρώτα από τη γεωμετρία και μετά από τη λογική.
Η δομή: 6 ακτίνες και 6 εσωτερικά τρίγωνα
Τα δώδεκα τρίγωνα χωρίζονται σε δύο ομάδες:
ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΕΠΙΣΗΣ
- Οι έξι ακτίνες (εξωτερικά τρίγωνα): οι «μύτες» του αστεριού. Βρίσκονται σε θέσεις 12, 2, 4, 6, 8 και 10 του ρολογιού.
- Τα έξι εσωτερικά τρίγωνα: σχηματίζουν το κεντρικό εξάγωνο. Καθένα βρίσκεται ακριβώς «κάτω» από μία ακτίνα, προς το κέντρο.
Οι τρεις σχέσεις που πρέπει να ελέγχετε πάντα, με αυτή τη σειρά:
- Διαμετρικά αντίθετα τρίγωνα. Η ακτίνα στις 12 και το εσωτερικό τρίγωνο στις 6, η ακτίνα στις 2 και το εσωτερικό στις 8, κ.ο.κ. Είναι μακράν η πιο συνηθισμένη σχέση: το ζεύγος μοιράζεται συνήθως το ίδιο σχήμα και συνδέεται με έναν αριθμητικό ή χρωματικό κανόνα.
- Γειτονικά τρίγωνα. Η ακτίνα και το εσωτερικό τρίγωνο ακριβώς κάτω από αυτήν (ίδια «ώρα»). Λιγότερο συχνό, αλλά εμφανίζεται.
- Κυκλική διαδοχή. Οι έξι ακτίνες διαβάζονται δεξιόστροφα ως ακολουθία (1η, 2η, 3η…), και ανεξάρτητα οι έξι εσωτερικές. Ό,τι ισχύει για τα πέντε πλαίσια της κλασικής ακολουθίας, ισχύει και εδώ.
Οι πέντε κανόνες που ενδέχεται να κρύβει το αστέρι
- Ταυτότητα: το αντίθετο τρίγωνο είναι πανομοιότυπο (ίδιο σχήμα, ίδιο πλήθος, ίδιο χρώμα). Ο ευκολότερος κανόνας — και η πρώτη υπόθεση που ελέγχουμε.
- Σταθερό άθροισμα ή διαφορά: το ζεύγος μοιράζεται το σχήμα, αλλά τα πλήθη αθροίζουν σε σταθερό αριθμό (π.χ. 5, 6 ή 7) ή διαφέρουν κατά σταθερό βήμα (π.χ. το εσωτερικό έχει ένα λιγότερο).
- Κυκλική αύξηση: γύρω-γύρω από το αστέρι το πλήθος αυξάνεται κατά ένα (1, 2, 3, 4, 5, 6), ενώ το σχήμα ακολουθεί επαναλαμβανόμενο κύκλο (κύκλος, τετράγωνο, τρίγωνο, κύκλος…).
- Αντιστροφή: το εσωτερικό τρίγωνο είναι το «αρνητικό» του αντίθετου: μαύρο γίνεται λευκό, το τρίγωνο που δείχνει πάνω γίνεται τρίγωνο που δείχνει κάτω.
- Συνδυασμός: δύο ή τρεις από τους παραπάνω κανόνες ταυτόχρονα π.χ. σχήμα από το αντίθετο, πλήθος 7 μείον το αντίθετο, χρώμα αντεστραμμένο. Οι λάθος επιλογές ικανοποιούν πάντα έναν μόνο κανόνα.
Πάμε να δούμε τρία κλασσικά παραδείγματα και μία παραλλαγή:
Παράδειγμα 1ο – Κλασσικό αστέρι
Το παρακάτω αστέρι αποδίδει την τυπική ερώτηση των τεστ αυτών. Το ερωτηματικό βρίσκεται στο εξωτερικό τρίγωνο κάτω αριστερά. Ποιο περιεχόμενο αντικαθιστά το ερωτηματικό;
Επεξήγηση σωστής απάντησης: Εδώ το ερωτηματικό είναι σε ακτίνα, και ο κανόνας είναι κυκλικός: δεξιόστροφα από την κορυφή, οι ακτίνες έχουν 1, 2, 3, 4, ?, 6 μαύρα σχήματα, με το σχήμα να κάνει κύκλο κύκλος ? τετράγωνο ? τρίγωνο. Η 5η θέση είναι τετράγωνο με 5 σχήματα. Τα εσωτερικά τρίγωνα είναι απλώς λευκές εκδοχές των ακτίνων τους (γειτονική σχέση) και το επιβεβαιώνουν. Η Α έχει λάθος πλήθος, η Β και η Ε λάθος σχήμα και η Δ λάθος χρώμα, η σωστή απάντηση είναι η επιλογή Γ.
Παράδειγμα 2ο – Κλασσικό αστέρι
Στο παρακάτω αστέρι το ερωτηματικό βρίσκεται στο εσωτερικό τρίγωνο αριστερά. Ποιο περιεχόμενο αντικαθιστά το ερωτηματικό;
Επεξήγηση σωστής απάντησης: Τα αντίθετα ζεύγη μοιράζονται το σχήμα και το χρώμα και τα πλήθη τους αθροίζουν σε 5 (τετράγωνα 1 + 4, τρίγωνα 4 + 1, ρόμβοι 2 + 3, σταυροί 3 + 2, μαύροι κύκλοι 2 + 3). Απέναντι από το ερωτηματικό: 3 λευκοί κύκλοι, άρα 2 λευκοί κύκλοι. Η Α (3 κύκλοι) είναι η παγίδα της ταυτότητας, η Δ έχει σωστό πλήθος αλλά μαύρο χρώμα, η σωστή απάντηση κρύβεται πίσω από την επιλογή Γ.
Παράδειγμα 3ο – Κλασσικό αστέρι
Στο παρακάτω αστέρι το ερωτηματικό βρίσκεται στο εσωτερικό τρίγωνο κάτω δεξιά. Ποιο περιεχόμενο αντικαθιστά το ερωτηματικό;
Επεξήγηση σωστής απάντησης: Κανένα εσωτερικό τρίγωνο δεν ταιριάζει ολόκληρο με κάποια ακτίνα, οπότε σπάμε το περιεχόμενο στα τρία συστατικά του και ψάχνουμε το καθένα στις τρεις ακτίνες που το περιβάλλουν. Στο εσωτερικό κάτω από την κορυφή (6 μαύρα τετράγωνα) το σχήμα έρχεται από την ακτίνα δεξιά του (λευκά τετράγωνα), το πλήθος από την ακτίνα αριστερά του (6 εξάγωνα) και το χρώμα από την ακτίνα από πάνω (μαύρος κύκλος), ο ίδιος κανόνας, σχήμα από δεξιά, πλήθος από αριστερά, χρώμα από πάνω, επαληθεύεται και στα άλλα τέσσερα συμπληρωμένα εσωτερικά. Το ερωτηματικό βρίσκεται κάτω από την ακτίνα κάτω δεξιά: σχήμα από την κάτω ακτίνα (ρόμβος), πλήθος από την πάνω δεξιά (4), χρώμα από την κάτω δεξιά (μαύρο), δηλαδή 4 μαύροι ρόμβοι — επιλογή Δ. Οι υπόλοιπες επιλογές παίρνουν μία ιδιότητα από λάθος ακτίνα: η Α αντιγράφει ολόκληρη την κάτω ακτίνα (5 ρόμβοι), η Β το σχήμα από πάνω (τρίγωνα), η Γ το χρώμα από αριστερά (λευκό) και η Ε το πλήθος από πάνω (2).
Παράδειγμα 4ο – Παραλλαγή του τριγώνου
Συγγενής μορφή με το αστέρι είναι το μεγάλο ισόπλευρο τρίγωνο χωρισμένο σε εννέα μικρά τρίγωνα: έξι που «κοιτούν» προς τα πάνω (η κορυφή, δύο στη μέση, τρία στη βάση, μαζί σχηματίζουν την περίμετρο) και τρία ανεστραμμένα, εσωτερικά. Οι κανόνες είναι οι ίδιοι με το αστέρι, με μία διαφορά στη γεωμετρία: εδώ δεν υπάρχει «διαμετρικά αντίθετο» τρίγωνο. Κάθε εσωτερικό (ανεστραμμένο) τρίγωνο συνδέεται με το τρίγωνο με το οποίο μοιράζεται την πάνω πλευρά του, δηλαδή με αυτό που βρίσκεται ακριβώς από πάνω του.
Ποιο περιεχόμενο αντικαθιστά το ερωτηματικό;
Επεξήγηση σωστής απάντησης: Το μεγάλο τρίγωνο αποτελείται από έξι όρθια τρίγωνα που σχηματίζουν την περίμετρό του και τρία ανεστραμμένα, εσωτερικά. Διαβάζοντας τα όρθια δεξιόστροφα από την κορυφή, βλέπουμε 1 μαύρο κύκλο, 2 λευκά τετράγωνα, 3 μαύρα τρίγωνα, 4 λευκούς κύκλους, 5 μαύρα τετράγωνα και 6 λευκά τρίγωνα: το πλήθος αυξάνεται κατά ένα, το σχήμα ακολουθεί τον κύκλο κύκλος–τετράγωνο–τρίγωνο και το χρώμα εναλλάσσεται. Η περίμετρος, όμως, είναι πλήρης, το ερωτηματικό βρίσκεται σε εσωτερικό τρίγωνο, άρα πρέπει να βρούμε με ποιο από τα γειτονικά του συνδέεται. Η δοκιμή στα δύο εσωτερικά που είναι ήδη συμπληρωμένα δίνει την απάντηση: το πάνω εσωτερικό έχει 6 λευκούς κύκλους και ακριβώς από πάνω του, στην κορυφή, υπάρχει 1 μαύρος κύκλος, το κάτω αριστερό εσωτερικό έχει 1 μαύρο τρίγωνο και από πάνω του, στο μεσαίο αριστερό, υπάρχουν 6 λευκά τρίγωνα. Και στις δύο περιπτώσεις το εσωτερικό τρίγωνο παίρνει το σχήμα του τριγώνου με το οποίο μοιράζεται την πάνω πλευρά του, αντιστρέφει το χρώμα του και συμπληρώνει το πλήθος του στο 7 (1 + 6, 6 + 1). Πάνω από το ερωτηματικό βρίσκεται το μεσαίο δεξιό τρίγωνο με 2 λευκά τετράγωνα, επομένως το ζητούμενο είναι τετράγωνα, μαύρα, 7 − 2 = 5, δηλαδή η επιλογή Γ. Οι υπόλοιπες επιλογές είναι σχεδιασμένες για να ικανοποιούν έναν μόνο από τους τρεις κανόνες: η Α έχει 5 τετράγωνα αλλά λευκά, η Β 2 μαύρα τετράγωνα (σωστό χρώμα, αντιγραμμένο πλήθος), η Δ 5 μαύρους κύκλους (σωστό πλήθος και χρώμα, αλλά το σχήμα του πάνω εσωτερικού), και η Ε 4 μαύρα τετράγωνα (7 − 3, για όποιον συνδέσει το ερωτηματικό με το γωνιακό τρίγωνο δεξιά του που όμως έχει τρίγωνα, όχι τετράγωνα). Το δύσκολο σε αυτήν την άσκηση δεν είναι κανένας κανόνας χωριστά, αλλά η απόφαση ποιο γειτονικό τρίγωνο «γεννά» το εσωτερικό, και αυτή λαμβάνεται με ασφάλεια μόνο αφού ελεγχθεί σε όλα τα ήδη συμπληρωμένα εσωτερικά τρίγωνα.
