Σήμερα θα ασχοληθούμε με τα προβλήματα συνεργασίας που συναντάμε κατά διαστήματα στο μάθημα «Γνώσεις και Δεξιότητες» στο οποίο εξετάζονται οι υποψήφιοι της ΕΣΔΔΑ στο Α’ Στάδιο και θα ήταν πολύ χρήσιμο να αναλύσουμε σήμερα τον τρόπο επίλυσής τους προκειμένου να γλιτώνετε κόπο και χρόνο για την επίλυσή του.
Τα προβλήματα συνεργασίας αφορούν στο χρόνο που χρειάζεται ένα άτομο ή μια ομάδα ατόμων να ολοκληρώσει μια εργασία καθώς και την αποτελεσματικότητα της εργασίας αυτής που επιτελείται από το καθένα άτομο.
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι υπάρχει μια ορισμένη σχέση μεταξύ του αριθμού των ατόμων που εκτελούν την εργασία, του αριθμού των ημερών ή χρόνου γενικότερα που χρειάζονται για να ολοκληρώσουν την εργασία και της ποσότητας της εργασίας που εκτελείται.
ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΕΠΙΣΗΣ
Ας μελετήσουμε μερικούς από τους σημαντικούς τύπους που θα χρειαστείτε να γνωρίζετε:
Αποδοτικότητα εργασίας
Η αποδοτικότητα της εργασίας υπολογίζεται ως το πηλίκο του συνολικού έργου προς το συνολικό χρόνο που απαιτείται για την ολοκλήρωση της εργασίας.
Συμβολίζεται με τον τύπο:
Απόδοση εργασίας = (Συνολικό έργο) / (Συνολικός χρόνος)
Παραγόμενο έργο
Η ποσότητα της εργασίας που πραγματοποιήθηκε υπολογίζεται ως το γινόμενο της αποδοτικότητας της εργασίας και του χρόνου που απαιτήθηκε.
Ο τύπος για το παραγόμενο έργο είναι:
Παραγόμενο έργο = (Απόδοση εργασίας) Χ (Χρόνος που απαιτείται)
Ρυθμός εργασίας
Ο ρυθμός εργασίας αναφέρεται στην ταχύτητα με την οποία ολοκληρώνεται η εργασίας.
Υπολογίζεται ως:
Ρυθμός εργασίας = 1 / (Χρόνος που απαιτείται)
Για παράδειγμα, εάν ένα μηχάνημα μπορεί να ολοκληρώσει μια εργασία σε 6 ώρες, ο ρυθμός εργασίας του είναι 1/6 εργασίες ανά ώρα. Εάν 5 εργάτες χρειάζονται 3 ημέρες για να ολοκληρώσουν ένα έργο, ο συνδυασμένος ρυθμός εργασίας τους είναι 5/3 έργα ανά ημέρα.
Σχέση εργασία από πολλά άτομα
Αν η εργασία W1 εκτελείται από άτομα Μ1 σε ημέρες D1 που εργάζονται Τ1 ώρες την ημέρα και η εργασία W2 εκτελείται από άτομα Μ2 σε ημέρες D2 που εργάζονται Τ2 ώρες την ημέρα, τότε η σχέση τους θα είναι:
(M1 × D1 × T1 × W2) = (M2 × D2 × T2 × W1)
Για τα προβλήματα αυτά υποθέτουμε ότι όλοι οι εργαζόμενοι ή οι μηχανές είναι εξίσου αποδοτικοί, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε άτομο/μηχανή ολοκληρώνει την ίδια ποσότητα εργασίας σε ίσο χρονικό διάστημα, εκτός αν ορίζεται διαφορετικά κάτι άλλο.
Γενικά, όλα τα μοτίβα ερωτήσεων που πιθανότατα να συναντήσετε έχουν να κάνουν είτε με την αποδοτικότητα ενός ατόμου, είτε με τον χρόνο που χρειάζεται ένα άτομο ή μια ομάδα ατόμων να κάνει μια εργασία ή έργο είτε μια εργασία ή έργο που γίνεται από ένα άτομο σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είτε με μια ορισμένη εργασία που έγινε από μια ομάδα ατόμων σε μια ορισμένη περίοδο.
Εμείς δεν θα ασχοληθούμε με όλες τις παραπάνω περιπτώσεις αλλά μόνο με ότι είναι πιθανό περισσότερο στον συγκεκριμένο διαγωνισμό να σας τεθεί ως ερώτηση.
Ας δούμε παρακάτω ένα απλό παράδειγμα συνεργασίας 2 ατόμων που κάνουν μια δουλειά μαζί:
Ο Α βάφει ένα σπίτι σε 10 ημέρες και ο Β κάνει την ίδια δουλειά σε 15 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα βάψουν το σπίτι αν συνεργαστούν μεταξύ τους;
Α. 6
Β. 5
Γ. 3
Δ. 8
Ας λύσουμε το πρόβλημα βήμα – βήμα:
Ο Α μπορεί να ολοκληρώσει τη δουλειά σε 10 ημέρες, επομένως σε μία ημέρα ο Α κάνει το 1/10 της δουλειάς.
Ο Β μπορεί να ολοκληρώσει τη δουλειά σε 15 ημέρες, επομένως σε μία ημέρα ο Β κάνει το 1/15 της δουλειάς.
Αν δουλέψουν μαζί η ποσότητα της δουλειάς που θα κάνουν μαζί σε μια ημέρα είναι:
110 + 115
Για να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα, πρέπει να βρούμε κοινό παρονομαστή. Ο μικρότερος κοινός παρανομαστής των 10 και 15 είναι το 30.
Έτσι, μετατρέπουμε τα κλάσματα:
110 = 330, 115 + 230
Τώρα, προσθέτουμε τα δύο κλάσματα:
330 + 230 = 530 = 16
Άρα, ο Α και ο Β μαζί θα κάνουν το 1/6 της δουλειάς σε μια ημέρα. Επομένως, για να ολοκληρώσουν όλη την δουλειά θα χρειαστούν:
116 = 6 ημέρες.
Άρα, ο Α και ο Β μαζί θα ολοκληρώσουν τη δουλειά σε 6 ημέρες.
Επίσης, πρέπει να θυμόμαστε τα εξής:
Αν ένα άτομο εργάζεται για 3 ώρες τότε 1 άτομο Χ 3 ώρες = 3 εργατοώρες.
Αν δύο άτομα εργάζονται για 3 ώρες τότε 2 άτομα Χ 3 ώρες = 6 εργατοώρες.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα πιο περίπλοκο:
Ένας δρόμος μπορεί να κατασκευαστεί από 12 εργάτες που εργάζονται 8 ώρες την ημέρα για 30 ημέρες. Για να επιταχυνθεί η ολοκλήρωση του έργου, ο εργολάβος επιστρατεύει 30 υπαλλήλους προκειμένου να ολοκληρώσει το ίδιο έργο σε 16 ημέρες. Πόσες ώρες την ημέρα πρέπει να εργάζονται οι εργάτες προκειμένου να ολοκληρωθεί το έργο κατασκευής;
Α.7
Β.6
Γ.8
Δ.5
Αρχικά, έχουμε 12 εργάτες που εργάζονται 8 ώρες την ημέρα για 30 ημέρες. Το συνολικό ποσό των μηχανοωρών για το έργο είναι:
12 εργάτες Χ 8 ώρες/ημέρα Χ 30 ημέρες = 2880 εργατοώρες
Ο εργολάβος θέλει να ολοκληρώσει το έργο σε 16 ημέρες χρησιμοποιώντας 30 εργάτες, τότε οι συνολικές εργατοώρες θα είναι:
30 εργάτες Χ (x ώρες/ημέρα) Χ 16 ημέρες = 480x εργατοώρες
Η εργασία που πρέπει να γίνει είναι ίδια, οπότε και οι εργατοώρες που θα χρειαστούν πρέπει να είναι ίδιες:
480x = 2880
Λύνουμε ως προς x:
x = 2880480 = 6 ώρες την ημέρα.
Παρακάτω σας δίνονται τρία (3) ακόμα προβλήματα συνεργασίας με επεξήγηση αυτών στο τέλος για την καλύτερη κατανόηση τους:
- Ένας άνδρας μπορεί να κάνει μια εργασία σε 20 ημέρες και μια γυναίκα σε 15 ημέρες. Αν δουλέψουν μαζί για 5 ημέρες, τότε το κλάσμα του έργου που απομένει είναι:
Α. 1/12
Β. 1/10
Γ. 5/12
Δ. 7/15
- Σε ένα εργοστάσιο, 20 άτομα μπορούν να κατασκευάσουν 20 παιχνίδια σε 15 ημέρες δουλεύοντας 10 ώρες την ημέρα. Τότε, σε πόσες ημέρες μπορούν 25 άτομα να κατασκευάσουν 30 παιχνίδια δουλεύοντας 20 ώρες την ημέρα;
Α. 6 ημέρες
Β. 9 ημέρες
Γ. 10 ημέρες
Δ. 12 ημέρες
- Ο Μ ολοκλήρωσε ένα έργο σε 5 ημέρες. Το έργο αυτό έγινε από τον Ν σε 9 ημέρες. Αν ο Μ και ο Ν συνεργάζονταν μαζί και λάμβαναν μισθό 4200 ευρώ, βρείτε το μερίδιο του Ν.
Α. 1500
Β. 2000
Γ. 1000
Δ. 1200
Λύσεις με επεξηγήσεις:
1.Γ
Ο άνδρας μπορεί να ολοκληρώσει τη δουλειά σε 20 ημέρες, επομένως σε μία ημέρα ο άνδρας κάνει το 1/10 της δουλειάς.
Η γυναίκα μπορεί να ολοκληρώσει τη δουλειά σε 15 ημέρες, επομένως σε μία ημέρα η γυναίκα κάνει το 1/15 της δουλειάς.
Αν δουλέψουν μαζί η ποσότητα της δουλειάς που θα κάνουν μαζί σε μια ημέρα είναι:
120 + 115 = 760
Αν δουλέψουν μαζί 5 ημέρες η ποσότητα της δουλειάς που θα κάνουν μαζί είναι:
760 x 5 = 712
Συνεπώς, η υπολειπόμενη εργασία που απομένει είναι:
1 - 712 = 512
2.Β
Έχουμε, M1=20, M2=25, D1=15, D2=?, T1=10, T2=20, W1=20 & W2=30.
Ξέρουμε ότι από την θεωρία:
ML1 × D1 × T1 × W2 = M2 × D2 × T2 × W1
=> 20 × 15 × 10 × 30 = 25 × D2 × 20 × 20
=> D2 = 9
Συνεπώς, οι απαιτούμενες ημέρες είναι 9.
3.Α
Ο Μ ολοκλήρωσε το έργο σε 5 ημέρες.
Ο Ν ολοκλήρωσε το έργο σε 9 ημέρες.
Ο Μ και ο Ν συνεργάστηκαν και έλαβαν μισθό 4200 ευρώ για την ολοκλήρωση του έργου.
Θέλουμε να βρούμε το μερίδιο του Ν από τον μισθό.
Αρχικά, ας υπολογίσουμε πόσο έργο ολοκλήρωσε κάθε άτομο σε μια ημέρα.
Ο Μ ολοκλήρωσε το έργο σε 5 ημέρες, άρα σε μία ημέρα ολοκλήρωσε το 1/5 του έργου.
Ο Ν ολοκλήρωσε το έργο σε 9 ημέρες, άρα σε μία ημέρα ολοκλήρωσε το 1/9 του έργου.
Όταν οι Μ και Ν συνεργάζονται, η συνολική εργασία που κάνουν μαζί σε μια ημέρα είναι το άθροισμα των:
15 + 19
Για να προσθέσουμε τα κλάσματα βρίσκουμε τον μικρότερο κοινό παρανομαστή:
15 = 945 και 19 = 545
Άρα η συνολική εργασία που κάνουν μαζί σε μία ημέρα είναι:
945 + 545 = 1445
Ο Ν, σε κάθε ημέρα ολοκληρώνει τα 5/45 του έργου δηλαδή το 1/9. Η αναλογία της δουλειάς του Ν σε σχέση με τη δουλειά που κάνουν μαζί είναι:
191445 = 19 Χ 4514 = 514
Αν το συνολικό ποσό που έλαβαν και οι δύο μαζί είναι 4200 ευρώ, το μερίδιο του Ν από τον μισθό είναι το 5/14 του ποσού:
514 Χ 4200=1500
