Σήμερα θα επιλύσουμε τις ερωτήσεις αριθμητικού συλλογισμού, όπως ακριβώς έπεσαν στον 1ο Πανελλήνιο Γραπτό Διαγωνισμό ΑΣΕΠ.
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε πριν συνεχίσουμε είναι οι βασικές έννοιες για τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών:
Αριθμητική πρόοδος: Οι αριθμοί αυξάνονται ή μειώνονται με σταθερή διαφορά.
Γεωμετρική πρόοδος: Οι αριθμοί προκύπτουν με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με έναν σταθερό αριθμό.
Τετράγωνα και κύβοι: Σειρές που βασίζονται σε τέλειους τετραγωνικούς αριθμούς.
Πρώτοι αριθμοί: Σειρές που αποτελούνται από πρώτους αριθμούς.
Συνεπώς, εξετάστε πρώτα απλές σχέσεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση). Εάν δεν εντοπίσετε ένα μοτίβο, σκεφτείτε πιο σύνθετες σχέσεις (τετραγωνικές, κυβικές ή πρώτους αριθμούς).
Επίσης, μη σας μπερδεύουν το πως σας δίνονται οι αριθμοί πχ σε κουτάκια ή σε γεωμετρικά σχήματα, εσείς να προσπαθείτε πάντα να βρείτε τη σχέση μεταξύ τους.
Να θυμάστε επίσης ότι ο αριθμός που πρέπει να εντοπιστεί ίσως απορρέει από την πρόσθεση/αφαίρεση/πολλαπλασιασμό/διαίρεση συνήθως των αριθμών που σας δίνονται, και στη συνέχεια μετά από την πρόσθεση/αφαίρεση/πολλαπλασιασμό/διαίρεση με ένα σταθερό αριθμό.
Παρακάτω ακολουθούν οι ερωτήσεις αριθμητικού συλλογισμού από την ερώτηση 35 έως την ερώτηση 54 απαντημένες από τον ΑΣΕΠ και με επεξήγηση από εμένα. Στην επόμενη ανάρτηση θα επιλυθούν οι άλλες μισές ερωτήσεις από την ερώτηση 55 έως και την ερώτηση 73.
Ερώτηση 35
Σωστή απάντηση: Δ. 40
Επεξήγηση: Βλέπουμε μια αριθμητική σειρά 8, 16, 24, 32 και καλούμαστε να βρούμε τον επόμενο αριθμό.
Οι πιθανές απαντήσεις είναι Α:64, Β:42, Γ:48 και Δ:40
Παρατηρούμε ότι η διαφορά μεταξύ διαδοχικών αριθμών είναι σταθερή:
16-8=8
24-16=8
32-24=8
Άρα, η σειρά αυξάνεται κατά 8 σε κάθε βήμα.
Για να βρούμε τον επόμενο αριθμό, προσθέτουμε 8 στο τελευταίο στοιχείο της σειράς (32): 32+8=40.
Συνεπώς, η σειρά ακολουθεί μια απλή αριθμητική πρόοδο με σταθερή διαφορά 8. Αυτό σημαίνει ότι κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο όρο με την προσθήκη του αριθμού 8.
Ερώτηση 36
Σωστή απάντηση: Δ. 7
Επεξήγηση: Σε αυτήν τη σειρά, παρατηρούμε τους από πάνω αριθμούς, οι οποίοι είναι είτε σε μαύρους είτε σε λευκούς κύκλους. Κάθε φορά που βλέπουμε αριθμό σε μαύρο κύκλο τον μειώνουμε και σε άσπρο τον προσθέτουμε. Έτσι:
Πρώτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 15 (λευκός) και 3 (μαύρος) οπότε 15-3= 12 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: Πάνω αριθμοί: 7 (λευκός) και 3 (λευκός) οπότε 7+3=10 (κάτω αριθμός)
Τρίτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 3 (μαύρος), 1 (μαύρος) και 12 (λευκός) οπότε: 12-3-1=8 (κάτω αριθμός)
Τέταρτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 15 (λευκός) και 14 (μαύρος) οπότε 15-14= 1 (κάτω αριθμός)
Πέμπτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 6 (λευκός), 3 (μαύρος) και 4 (λευκός) οπότε 6-3+4=7.
Απάντηση 37
Σωστή απάντηση: A. 19
Επεξήγηση: Σε αυτήν τη σειρά, παρατηρούμε τους από πάνω αριθμούς και παρατηρούμε ότι από τον δεύτερο αριθμό αφαιρώντας τον πρώτο τότε βρίσκουμε τον κάτω αριθμό. Έτσι:
Πρώτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 3 και 7, οπότε 7-3=4 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: Πάνω αριθμοί: 10 και 25, οπότε 25-10=15 (κάτω αριθμός)
Τρίτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 5 και 10, οπότε 10-5=5 (κάτω αριθμός)
Τέταρτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 2 και 10, οπότε 10-2=8 (κάτω αριθμός)
Πέμπτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 18 και 37, οπότε 37-18=19.
Απάντηση 38
Σωστή απάντηση: Β. 81
Επεξήγηση: Σε αυτή την ερώτηση οι αριθμοί 1, 3, 9, 27 σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο.
Παρατηρούμε ότι κάθε αριθμός προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο αριθμό με το 3 ως εξής:
1 Χ 3 = 3
3 Χ 3 = 9
9 Χ 3 = 27
Συνεχίζουμε τον πολλαπλασιασμό με το 3: 27 Χ 3 = 81.
Ερώτηση 39
Σωστή απάντηση: Γ. 7
Επεξήγηση: Για να αναλύσουμε τη σχέση μεταξύ των αριθμών και να προσδιορίσουμε την τιμή που λείπει στη δεύτερη σειρά, παρατηρούμε τις σχέσεις των πρώτων στηλών ως εξής:
Πρώτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 20 και 4, τους πολλαπλασιάζουμε 20Χ4=80 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 και βρίσουμε 85 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: Πάνω αριθμοί: 10 και 5, τους πολλαπλασιάζουμε 10Χ5=50 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 και βρίσκουμε 55 (κάτω αριθμός)
Τρίτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 30 και 2, τους πολλαπλασιάζουμε 30Χ2=60 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 και βρίσκουμε 65 (κάτω αριθμός)
Τέταρτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 7 και ?, κάτω αριθμός: 54 από τον οποίο αφαιρούμε 5 και βρίσκουμε 49, οπότε το 7 το πολλαπλασιάζουμε με 7 για να βρούμε 49.
Ερώτηση 40
Σωστή απάντηση: Γ. 40
Επεξήγηση: Και σε αυτό το ερώτημα παρατηρούμε τους πάνω αριθμούς για να βρούμε τον κάτω αριθμό. Παρατηρούμε επομένως ότι πολλαπλασιάζοντας τους πάνω αριθμούς και προσθέτοντας στη συνέχεια ένα σταθερό αριθμό 5 βρίσκουμε τον κάτω αριθμό. Έτσι:
Πρώτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 10 και 5, τους πολλαπλασιάζουμε 10Χ5=50 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 οπότε 50+5=55 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: Πάνω αριθμοί: 30 και 2, τους πολλαπλασιάζουμε 30Χ2=60 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 οπότε 60+5=65 (κάτω αριθμός)
Τρίτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 10 και 3, τους πολλαπλασιάζουμε 10Χ3=30 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 οπότε 30+5=35 (κάτω αριθμός)
Τέταρτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 8 και 5, τους πολλαπλασιάζουμε 8Χ5=40 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 οπότε 40+5=45 (κάτω αριθμός)
Πέμπτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 7 και 5, τους πολλαπλασιάζουμε 7Χ5=35 και προσθέτουμε ένα σταθερό αριθμό 5 οπότε 35+5=40 (κάτω αριθμός)
Ερώτηση 41
Σωστή απάντηση: Δ. 6
Επεξήγηση: Και σε αυτό το ερώτημα παρατηρούμε ότι έχουμε σε κάθε στήλη πάνω αριθμούς που βρίσκονται σε λευκό ή μαύρο κύκλο και ο κάτω αριθμός είναι ο αριθμός που εδώ θα τον χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τον αριθμό που βρίσκεται στον λευκό κύκλο σε κάθε στήλη.
Πολλαπλασιάζουμε τον πάνω αριθμό που βρίσκεται στο μαύρο κύκλο με τον κάτω αριθμό και βρίσκουμε τον πάνω αριθμό που βρίσκεται στο λευκό κύκλο ως εξής:
Πρώτη στήλη: 4 Χ 5 = 20
Δεύτερη στήλη: 6 Χ 3 = 18
Τρίτη στήλη: 2 Χ 5 = 10
Τέταρτη στήλη: 4 Χ 2 = 8
Πέμπτη στήλη: 18 / 3 = 6.
Ερώτηση 42
Σωστή απάντηση: Β. 4
Επεξήγηση: Πάλι και εδώ έχουμε προσθαφαιρέσεις σε κάθε στήλη και παρατηρούμε ότι στην κάτω σειρά είναι ο αριθμός που πρέπει να εντοπιστεί από την σχέση των πάνω αριθμών.
Αν επομένως προσθέσουμε τους δύο πρώτους πάνω αριθμούς και αφαιρέσουμε τον τρίτο πάνω αριθμό βρίσκουμε τον κάτω αριθμό. Έτσι:
Πρώτη στήλη: 6+4-9=10-9=1
Δεύτερη στήλη: 5+5-10=10-10=0
Τρίτη στήλη: 7+2-1=9-1=8
Τέταρτη στήλη: 40+20-10=60-10=50
Πέμπτη στήλη: 3+2-1=5-1=4
Ερώτηση 43
Σωστή απάντηση: Δ.38
Επεξήγηση: Στη σειρά αυτή των αριθμών παρατηρούμε την εξής σχέση: οι πρώτοι δύο αριθμοί έχουν διαφορά 1, οι επόμενοι αριθμοί έχουν διαφορά 3, μετά πάλι έχουν διαφορά 1 και διαφορά 3 και εντοπίζουμε έτσι τον αριθμό που λείπει. Έτσι:
50-49=1
49-46=3
46-45=1
45-42=3
42-41=1
41-?=3 ⬄ 41-3=38
Ερώτηση 44
Σωστή απάντηση: Γ. 15
Επεξήγηση: Μη σας φοβίζουν τα γεωμετρικά σχήματα, ίσα ίσα που οι σχέσεις μεταξύ των αριθμών είναι περισσότερο εύκολες. Σε αυτή τη σειρά αριθμών παρατηρούμε σε κάθε τρίγωνο ότι αν προσθέσουμε τους αριθμούς που βρίσκονται στις γωνίες του κάθε τριγώνου και στη συνέχεια προσθέσουμε και τον σταθερό αριθμό 1 τότε βρίσκουμε τον αριθμό που βρίσκεται στο κέντρο του τριγώνου. Συγκεκριμένα:
Πρώτο τρίγωνο: 14+2+3=19+1=20
Δεύτερο τρίγωνο: 10+20+4=34+1=35
Τρίτο τρίγωνο: 1+2+3=6+1=7
Τέταρτο τρίγωνο: 7+5+2=14+1=15
Ερώτηση 45
Σωστή απάντηση: Γ. 15/5
Επεξήγηση: Και σε αυτά τα τρίγωνα ο αριθμητικός συλλογισμός είναι εύκολος και έχει ως εξής: Σε κάθε τρίγωνο προσθέτουμε τους αριθμούς που βρίσκονται στις γωνίες για να βρούμε τον αριθμό που βρίσκεται στη μέση. Έτσι:
Πρώτο τρίγωνο: 3+5+2=10
Δεύτερο τρίγωνο: 2+10+8=20
Τρίτο τρίγωνο: 1+3+4=8
Τέταρτο τρίγωνο: 6+4+5=15
Ερώτηση 46
Σωστή απάντηση: Β. 10
Επεξήγηση: Πάλι έχουμε στο ερώτημά μας πάνω αριθμούς και κάτω αριθμούς και παρατηρούμε το εξής: αν προσθέσουμε τους πάνω αριθμούς και τους πολλαπλασιάσουμε με ένα σταθερό αριθμό 2 βρίσκουμε τον κάτω αριθμό. Έτσι:
Πρώτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 7 και 3, τους προσθέτουμε 7+3=10 και τον αριθμό που βρίσκουμε τον πολλαπλασιάζουμε με 2: 10Χ2=20 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: Πάνω αριθμοί: 20 και 5, τους προσθέτουμε 20+5=25 και τον αριθμό που βρίσκουμε τον πολλαπλασιάζουμε με 2: 25Χ2=50 (κάτω αριθμός)
Τρίτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 16 και 4, τους προσθέτουμε 16+4=20 και τον αριθμό που βρίσκουμε τον πολλαπλασιάζουμε με 2: 20Χ2=40 (κάτω αριθμός)
Τέταρτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 3 και 2, τους προσθέτουμε 3+2=5 και τον αριθμό που βρίσκουμε τον πολλαπλασιάζουμε με 2: 5Χ2=10 (κάτω αριθμός)
Ερώτηση 47
Σωστή απάντηση: Α. 2
Επεξήγηση: Και σε αυτό το ερώτημα αριθμητικού συλλογισμού, παρατηρούμε τις σχέσεις των αριθμών σε κάθε γραμμή αυτή τη φορά. Αν προσθέσουμε τους δύο πρώτους αριθμούς και μετά αφαιρέσουμε τον τρίτο αριθμό βρίσκουμε τον αριθμό που βρίσκεται στο σκιασμένο τετράγωνο. Έτσι:
1η γραμμή: 16+4-2=20-2=18
2η γραμμή: 6+4-5=10-5=5
3η γραμμή: 7+6-3=13-3=10
4η γραμμή: 5+3-?=6 ⬄ 5+3-6=? ⬄ 8-6=2
Ερώτηση 48
Σωστή απάντηση: Δ. 7
Επεξήγηση: Για άλλη μια φορά ο αριθμός που πρέπει να εντοπιστεί απορρέει από δύο πράξεις, στη δεύτερη πράξη έχουμε ένα σταθερό αριθμό.
Αν επομένως προσθέσουμε τον πάνω αριθμό και το άθροισμα αυτό το πολλαπλασιάσουμε με ένα σταθερό αριθμό 2 τότε βρίσκουμε τον κάτω αριθμό. Έτσι:
Πρώτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 16 και 5, τους προσθέτουμε 16+5=21 τον οποίο τον πολλαπλασιάζουμε με ένα σταθερό αριθμό 2: 21Χ2=42 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: Πάνω αριθμοί: 13 και 5, τους προσθέτουμε 13+5=18 τον οποίο τον πολλαπλασιάζουμε με έναν σταθερό αριθμό 2: 18Χ2=36
Τρίτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 21 και 4, τους προσθέτουμε 21+4=25 τον οποίο τον πολλαπλασιάζουμε με ένα σταθερό αριθμό 2: 25Χ2=50
Τέταρτη στήλη: Πάνω αριθμοί: 8 και 7, τους προσθέτουμε 8+7=15 τον οποίο τον πολλαπλασιάζουμε με ένα σταθερό αριθμό 2: 15Χ2=30
Πέμπτη στήλη: για να εντοπίσουμε τον πάνω αριθμό διαιρούμε τον κάτω αριθμό με το 2: 20/2=10 και μετά αφαιρούμε το 3 και βρίσκουμε 7
Ερώτηση 49
Σωστή απάντηση: Γ. 18, 5
Επεξήγηση: Στην παραπάνω ακολουθία αριθμών παρατηρούμε δύο σχέσεις αριθμών και συγκεκριμένα, ο πρώτος αριθμός επαναλαμβάνεται και μετά αφαιρούμε τον σταθερό αριθμό 13 και βρίσκουμε τον τρίτο αριθμό κ.ο.κ. Έτσι:
Ξανά 57
57-13=44
Ξανά 44
44-13=18
Ξανά 18 (αυτός είναι ο ένας μας αριθμός)
18-13=5 (αυτός είναι ο δεύτερος μας αριθμός)
Ερώτηση 50
Σωστή απάντηση: Δ. 20
Επεξήγηση: Στο ερώτημα αυτό παρατηρούμε ότι αν αφαιρέσουμε τους αριθμούς που βρίσκονται στη βάση του τριγώνου και στη διαφορά τους προσθέσουμε τον αριθμό που βρίσκεται στην πάνω γωνία τότε έχουμε εντοπίσει τον αριθμό που βρίσκεται στη μέση. Επομένως:
1ο τρίγωνο: 60-50=10+20=30
2ο τρίγωνο: 30-20=10+90=100
3ο τρίγωνο: 20-5=15+1=16
4ο τρίγωνο: 18-8=10+10=20
Ερώτηση 51
Σωστή απάντηση: Δ. 30/14/15
Επεξήγηση: Στο ερώτημα αυτό παρατηρούμε ότι αν αφαιρέσουμε τους δύο πάνω αριθμούς και στη συνέχεια αφαιρέσουμε τον σταθερό αριθμό 1 τότε βρίσκουμε τον αριθμό που βρίσκεται στο κάτω μέρος. Έτσι:
Πρώτη στήλη: 18-6=12-1=11
Δεύτερη στήλη: 14-7=7-1=6
Τρίτη στήλη: 11-5=6-1=5
Τέταρτη στήλη: 30-10=20-1=19
Πέμπτη στήλη: 30-14=16-1=15
Ερώτηση 52
Σωστή απάντηση: Α. 3
Επεξήγηση: Η σχέση που παρατηρούμε μεταξύ των πάνω αριθμών και των κάτω είναι η εξής: Πολλαπλασιάζουμε τον πάνω αριθμό με ένα σταθερό αριθμό 2 και μετά αυτό που θα βρούμε το αφαιρούμε με ένα σταθερό αριθμό 1 για να βρούμε τον κάτω αριθμό. Έτσι:
Πρώτη στήλη: 5Χ2=10-1=9 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: 10Χ2=20-1=19 (κάτω αριθμός)
Τρίτη στήλη: 7Χ2=14-1=13 (κάτω αριθμός)
Τέταρτη στήλη: 6Χ2=12-1=11 (κάτω αριθμός)
Πέμπτη στήλη: 16Χ2=32-1=31 (κάτω αριθμός)
Έκτη στήλη: 2Χ2=4-1=3 (κάτω αριθμός)
Ερώτηση 53
Σωστή απάντηση: Γ. 36
Επεξήγηση: Η σχέση στο ερώτημα αυτό των πάνω αριθμών είναι ο μέσος όρος τους και η πρόσθεση ενός σταθερού αριθμού 1. Έτσι:
Πρώτη στήλη: (20+10)/2=30/2=15+1=16 (κάτω αριθμός)
Δεύτερη στήλη: (60+20)/2=80/2=40+1=41 (κάτω αριθμός)
Τρίτη στήλη: (20+40)/2=60/2=30+1=31 (κάτω αριθμός)
Τέταρτη στήλη: (70+30)/2=100/2=50+1=51 (κάτω αριθμός)
Πέμπτη στήλη: (30+40)/2=70/2=35+1=36 (κάτω αριθμός)
Ερώτηση 54
Σωστή απάντηση: Α. 12
Επεξήγηση: Σε κάθε γραμμή παρατηρούμε ότι αν προσθέσουμε όλους τους αριθμούς και τους διαιρέσουμε με τον σταθερό αριθμό 2 τότε βρίσκουμε τον αριθμό στο σκιασμένο τετράγωνο ως εξής:
Πρώτη γραμμή: 5+5+8=18/2=9
Δεύτερη γραμμή: 12+8+10=30/2=15
Τρίτη γραμμή: 3+10+1=14/2=7
Τέταρτη γραμμή: 13+7+30=20+30=50/2=25
Πέμπτη γραμμή: 14+4+6=18+6=24/2=12
