Ο Άγγελος Δεληβορριάς, εισήχθη στο νοσοκομείο από τη Μεγάλη Πέμπτη μετά από πνευμονικό οίδημα, ωστόσο εξελίχθηκε σε πνευμονία και υποβλήθηκε σε επέμβαση στην καρδιά. Δυστυχώς η κατάσταση της υγείας του επιδεινώθηκε και εξέπνευσε το πρωί της Τρίτης.
Απόφοιτος της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, πραγματοποίησε μεταπτυχιακές σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Φράιμπουργκ, στη Γερμανία. Το 1965 διορίσθηκε στην Ελληνική Αρχαιολογική Υπηρεσία και υπηρέτησε στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο. Το 1973 ανακηρύχθηκε πτυχιούχος του Πανεπιστημίου της Σορβόνης, στη σχολή Ecole Pratique des Hautes Etudes. Ένα χρόνο αργότερα, το 1973 του ανατέθηκε η διεύθυνση του Μουσείου Μπενάκη της Αθήνας, του οποίου εισηγήθηκε την άμεση, ριζική ανάπλαση, που ολοκληρώθηκε έπειτα από 27 έτη (2000).
Το 1992 αναγορεύτηκε καθηγητής της Ιστορίας της Τέχνης στο Τμήμα Θεατρικών Σπουδών της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Αθηνών. Το 2000 τιμήθηκε από την Ακαδημία Αθηνών με Αργυρό Μετάλλιο, ενώ στο Μουσείο Μπενάκη απονεμήθηκε το «Χρυσό Μετάλλιο».
Στις 31 Οκτωβρίου 2014, σε εκδήλωση που έλαβε χώρα στο κεντρικό κτίριο του Μουσείου, ανακοινώθηκε η αποχώρησή του από τη θέση του διευθυντή, καταλαμβάνοντας πλέον μια θέση στη Διοικητική Επιτροπή του ιδρύματος. Τον Ιούνιο του 2016 εξελέγη από την ολομέλεια της Ακαδημίας Αθηνών τακτικό μέλος στην προκηρυχθείσα έδρα Αρχαιολογία-Μουσειολογία.
Ως μέλος της Αρχαιολογικής Υπηρεσίας υπηρέτησε στην Κεντρική Υπηρεσία, στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο, στην Εφορεία Αρχαιοτήτων Αττικής, στην Πάτρα και την Σπάρτη
Μεταξύ άλλων, ανέλαβε την έρευνα του Ιερού του Αμυκλαίου Απόλλωνος κοντά στη Σπάρτη. Το ιερό, που βρίσκεται στην αριστερή όχθη του Ευρώτα, κοντά στη Σπάρτη, πρώτος έσκαψε, το 1890, ο Χρήστος Τσούντας, διαπρεπές μέλος της Ακαδημίας και ακολούθησαν άλλοι. Η νέα έρευνα έφερε στο φως μέλη του περίφημου θρόνου του Απόλλωνος, που επέτρεψαν μία ακριβέστερη αναπαράσταση του μνημείου. Ακόμη, μελετήθηκαν το μυθολογικό, το επιγραφικό μέρος της παλαιάς και νέας ανασκαφής, η κεραμική, τα νομίσματα και διαφωτίστηκε η ιστορία του ιερού από τα αρχαιότατα χρόνια έως την περίοδο της ρωμαιοκρατίας.
Το μουσειολογικό έργο του Άγγελου Δεληβορριά δεν περιορίζεται στο Μουσείο Μπενάκη, το οποίο έχει οργανώσει ή έχει συμμετάσχει, από το 1974 έως το 2014, σε 130 εκθέσεις στην Ελλάδα και σε 39 εκθέσεις σε μεγάλες πόλεις του εξωτερικού, που αποτέλεσαν καλλιτεχνικά γεγονότα. Δημιούργημά του είναι το Μουσείο Ισλαμικής Τέχνης, όπως και το έξοχο ως σύλληψη και πραγματοποίηση Μουσείο Νίκου Χατζηκυριάκου Γκίκα.
Συλλυπητήριες δηλώσεις για την απώλεια του Άγγελου Δεληβορριά εξέδωσαν μεταξύ άλλων η υπουργός Πολιτισμού, Λυδία Κονιόρδου και ο πρόεδρος της Βουλής, Νίκος Βούτσης.
