Σήμερα θα μάθουμε ότι χρειάζεστε για να επιλύετε τα προβλήματα των ποσοστών με θεωρίες, με παραδείγματα αλλά και με πραγματικά προβλήματα όπως αυτά τα συναντήσαμε στον 28ο Εισαγωγικό Διαγωνισμό της ΕΣΔΔΑ.
Τι είναι ποσοστό;
Ένα ποσοστό είναι ένας αριθμός που εκφράζει ένα μέγεθος ως μέρος του 100. Για παράδειγμα το 25% (ποσοστό) είναι το 25 (μέρος) στα 100 (σύνολο).
Για να μετατρέψουμε ένα ποσοστό σε δεκαδικό, διαιρούμε με το 100. Για παράδειγμα: 25% = 25/100 = 0,25.
Από την άλλη πλευρά, για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό σε ποσοστό, πολλαπλασιάζουμε με το 100. Για παράδειγμα: 0,25 Χ 100 = 25%.
Αυτά είναι τα βασικά της θεωρίας για το ποσοστό.
Ποια η σχέση του ποσοστού με το μέρος και το σύνολο;
Η βασική σχέση ανάμεσα στο ποσοστό (Π), το μέρος (Μ) και το σύνολο (Σ) είναι:
Π = (Μ/Σ) Χ 100.
Οπότε αν θέλουμε να υπολογίσουμε το μέρος (Μ) ο τύπος γίνεται:
Μ = (Π Χ Σ)/100.
Ενώ, αν θέλουμε να υπολογίσουμε το σύνολο (Σ) ο τύπος γίνεται ως :
Σ = (Μ Χ 100)/Π.
Ας δούμε κάποια παραδείγματα για να κατανοήσουμε τα παραπάνω:
1. Ποιο είναι το 20% των 50 ευρώ;
Έχουμε το ποσοστό (20%) και το σύνολο (50 ευρώ) και μας λείπει το μέρος (Μ), οπότε:
Μ = (Ρ Χ Σ) / 100 = (20 Χ 50) / 100 = 1.000 / 100 = 10 ευρώ.
2. Τι ποσοστό των 200 ευρώ είναι τα 50 ευρώ;
Εδώ έχουμε το σύνολο (200 ευρώ), το μέρος (50 ευρώ) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ποσοστό, οπότε:
Π = (Μ/Σ) Χ 100 = (50/200) Χ 100 = 0,25 Χ 100 = 25%.
3. Αν το 30% ενός αριθμού είναι 60, ποιος είναι ο αριθμός;
Εδώ έχουμε το ποσοστό (30%), έχουμε το μέρος (60) και μας λείπει το σύνολο (Σ), οπότε:
Σ = (Μ Χ 100) / Π = (60 Χ 100) / 30 = 6.000 / 30 = 200.
Πως βρίσκουμε τις αυξήσεις και τις μειώσεις ποσών με ποσοστά;
Η αύξηση ή η μείωση ενός ποσού με ποσοστό εκφράζεται από τον τύπο:
Νέα Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 + Π/100) για αύξηση και
Νέα Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 – Π/100) για μείωση.
Ας δούμε δύο παραδείγματα για να κατανοήσουμε τους τύπους:
1. Ένα προϊόν κοστίζει 100 ευρώ. Αν η τιμή του αυξηθεί κατά 20%, ποια θα είναι η νέα του τιμή;
Νέα Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 + Π/100) ⬄
Νέα Τιμή = 100 Χ (1 + 20/100) ⬄
Νέα Τιμή = 100 Χ (1 + 0,20) ⬄
Νέα Τιμή = 100 Χ 1,20 ⬄
Νέα Τιμή = 120 ευρώ.
2. Ένα προϊόν κοστίζει 150 ευρώ. Αν η τιμή του μειωθεί κατά 10% ποια θα είναι η νέα του τιμή;
Νέα Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 – Π/100) ⬄
Νέα Τιμή = 150 Χ (1 – 10/100) ⬄
Νέα Τιμή = 150 Χ (1 – 0,10) ⬄
Νέα Τιμή = 150 Χ 0,90 ⬄
Νέα Τιμή = 135 ευρώ.
Πως υπολογίζουμε τις διαδοχικές αλλαγές με ποσοστά;
Όταν έχουμε διαδοχικές αλλαγές τιμών, υπολογίζουμε κάθε αλλαγή διαδοχικά. Ο τύπος που χρειαζόμαστε είναι:
Τελική Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 + Π1/100) Χ (1 + Π2/100) για αύξηση
Τελική Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 – Π1/100) Χ (1 – Π2/100) για μείωση
Για παράδειγμα:
Ένα προϊόν αυξάνεται κατά 10% και στη συνέχεια μειώνεται κατά 20%. Αν η αρχική του τιμή είναι 100 ευρώ, ποια θα είναι η τελική τιμή;
Τελική Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 + Π1/100) Χ (1 - Π2/100) ⬄
Τελική Τιμή = 100 Χ (1 + 10/100) Χ (1 - 20/100) ⬄
Τελική Τιμή = 100 Χ (1 + 0,10) Χ (1 - 0,20) ⬄
Τελική Τιμή = 100 Χ 1,10 Χ 0,8 ⬄
Τελική Τιμή = 88 ευρώ.
Πως αντιμετωπίζουμε τα προβλήματα υπολογισμού του ΦΠΑ;
Όλοι γνωρίζουμε ότι η τελική τιμή ενός προϊόντος περιλαμβάνει τον ΦΠΑ. Ο τύπος υπολογισμού του ΦΠΑ είναι:
Τελική Τιμή = Καθαρή Αξία Χ (1 + ΦΠΑ/100)
Για παράδειγμα:
Ένα προϊόν κοστίζει 48 ευρώ και έχει ΦΠΑ 20%. Ποια είναι η καθαρή αξία χωρίς ΦΠΑ;
Τελική Τιμή = Καθαρή Αξία Χ (1 + ΦΠΑ/100) ⬄
Καθαρή Αξία = Τελική Τιμή / (1 + ΦΠΑ/100) ⬄
Καθαρή Αξία = 48 / (1 + 20/100) ⬄
Καθαρή Αξία = 48 / (1 + 0,20) ⬄
Καθαρή Αξία = 48 / 1,20 ⬄
Καθαρή Αξία = 40 ευρώ.
Τι γίνεται όταν έχουμε συνδυασμούς ποσοστών;
Στα προβλήματα αυτά όπου συνδυάζονται ποσοστά τότε πολλαπλασιάζουμε τα ποσοστά αυτά εφόσον προηγουμένως τα έχουμε μετατρέψει σε δεκαδικά.
Για παράδειγμα:
Το 40% των μαθητών ενός σχολείου είναι αγόρια και το 25% των αγοριών παίζουν ποδόσφαιρο. Ποιο ποσοστό του συνόλου των αγοριών παίζει ποδόσφαιρο;
Ποσοστό αγοριών που παίζει ποδόσφαιρο: 0,40 Χ 0,25 = 0,10 ή 10%.
Πως υπολογίζουμε την τιμή πώλησης με κέρδος;
Γνωρίζουμε ότι το κόστος είναι η αξία ενός προϊόντος ή μιας υπηρεσίας πριν υπολογιστεί το κέρδος του προμηθευτή. Η τιμή πώλησης συμπεριλαμβάνει και το κόστος και το κέρδος, οπότε το κέρδος είναι η διαφορά ανάμεσα στην τιμή πώλησης και το κόστος ενός προϊόντος ή μιας υπηρεσίας.
Η τιμή πώλησης ενός προϊόντος με δεδομένο ποσοστό κέρδους υπολογίζεται από τον εξής τύπο:
Τιμή Πώλησης = Κόστος Χ (1 + Ποσοστό κέρδους/100)
Προβλήματα με ποσοστά από τον 28ο Εισαγωγικό Διαγωνισμό της ΕΣΔΔΑ με επεξηγήσεις
Μόνο σε έναν διαγωνισμό συναντήσαμε τέσσερις (4) ερωτήσεις με ποσοστά που μας δίνουν τέσσερις πόντους από τους τριάντα (30) που χρειαζόμαστε για να περάσουμε. Βήμα – βήμα από εδώ και πέρα θα χτίσουμε τη γνώση μας για να μην έχουμε κανένα πρόβλημα όταν επιλύουμε το τεστ Γνώσεις και Δεξιότητες της ΕΣΔΔΑ:
1.
Ο Γιάννης αγοράζει με ένα ευρώ 10 μήλα. Σε ποια τιμή θα πρέπει να πουλήσει το κάθε μήλο για να έχει κέρδος 25%;
Α. 0,125 ευρώ
Β. 0,15 ευρώ
Γ. 0,25 ευρώ
Δ. 1,25 ευρώ
Σωστή απάντηση: Α. 0,125 ευρώ
Επεξήγηση: Στο ερώτημα αυτό έχουμε το κόστος ενός μήλου (1/10 = 0,10), έχουμε το κέρδος (25%) αλλά δεν έχουμε την Τιμή Πώλησης, οπότε:
Τιμή Πώλησης = Κόστος Χ (1 + Ποσοστό κέρδους/100) ⬄
Τιμή Πώλησης = 0,1 Χ (1 + 0,25) ⬄
Τιμή Πώλησης = 0,1 Χ 1,25 ⬄
Τιμή Πώλησης = 0,125 ευρώ.
2.
Η αξία ενός φορητού υπολογιστή τον Μάρτιο του 2021 ήταν 300 ευρώ. Τον Μάιο του ίδιου έτους έφτασε τα 352,5 ευρώ. Η αύξηση της τιμής του ήταν κατά:
Α. 19,5%
Β. 21,5%
Γ. 17,5%
Δ. 20,5%
Σωστή απάντηση: Γ. 17,5%
Επεξήγηση: Έχουμε την αρχική τιμή (300 ευρώ) και την τελική τιμή (352,5 ευρώ) και ψάχνουμε το ποσοστό της αύξησης:
Νέα Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 + Π/100) ⬄
352,5 = 300 Χ (1 + Π/100) ⬄
352,5/300 = 1 + Π/100
1,175 -1 = Π/100 ⬄
0,175 = Π/100 ⬄
Π = 0,175 Χ 100 ⬄
Π = 17,5%
3.
Η αρχική τιμή μιας ηλεκτρικής συσκευής είναι 1.850 ευρώ. Εάν δοθούν δύο διαδοχικές εκπτώσεις 10% και Χ% η συσκευή πωλείται τελικά στην τιμή των 1.600 ευρώ. Ποιο είναι το ποσοστό της δεύτερης έκπτωσης;
Α. 3,9
Β. 4,6
Γ. 3,2
Δ. 3,7
Σωστή απάντηση: Α. 3,9
Επεξήγηση: Χρησιμοποιούμε τον τύπο με τις διαδοχικές μειώσεις με ποσοστά ενώ έχουμε την αρχική τιμή (1.850 ευρώ) και την τελική τιμή (1.600 ευρώ), ως εξής:
Τελική Τιμή = Αρχική Τιμή Χ (1 – Π1/100) Χ (1 – Π2/100) ⬄
1.600 = 1.850 Χ (1 – 10/100) Χ (1 – Π2/100) ⬄
1.600/1.850 = (1 – 0,10) Χ (1 – Π2/100) ⬄
0,8648 = 0,9 Χ (1 – Π2/100) ⬄
0,8648/0,9 = 1 – Π2/100 ⬄
0,9608 = 1 – Π2/100 ⬄
0,9608 – 1 = Π2/100 ⬄
0,039 Χ 100 = Π2 ⬄
Π2 = 3,9.
4.
Ένα προϊόν στοιχίζει 48 ευρώ συμπεριλαμβανομένου ΦΠΑ 20%. Ποια είναι η καθαρή αξία του προϊόντος;
Α. 42
Β. 38
Γ. 39,6
Δ. 40
Σωστή απάντηση: Δ. 40
Επεξήγηση: Από την ερώτηση έχουμε την τελική τιμή (48) και το ΦΠΑ (20%) και ψάχνουμε την καθαρή αξία:
Τελική Τιμή = Καθαρή Αξία Χ (1 + ΦΠΑ/100) ⬄
48 = Καθαρή Αξία Χ (1 + 20/100) ⬄
48 = Καθαρή Αξία Χ (1 + 0,20) ⬄
Καθαρή Αξία = 48 / 1,20 ⬄
Καθαρή Αξία = 40.
Σιγά – σιγά θα γίνετε ξεφτέρια και δεν θα σας φοβίζει καμία ερώτηση από τις Γνώσεις και Δεξιότητες της ΕΣΔΔΑ.
Χρόνια πολλά και καλές γιορτές!
